Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan bentuk $ax + by \geq c$, $ax + by \leq c$, $ax + by > c$, dan $ax + by < c$. Pasangan x dan y atau titik (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut disebut solusi atau penyelesaian. Himpunan titik (x, y) atau himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dapat digambarkan pada sistem koordinat Cartesius dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Gambarkan persamaan garis dengan mengubah tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan. Kemudian cari titik potong sumbu x (y = 0) dan
titik potong sumbu y (x = 0), kemudian tarik garis melalui kedua titik tersebut.
2. Tetapkan satu titik sebagai acuan misalkan titik O(0, 0) dan lakukan uji titik O(0, 0). Substitisikan titik O(0, 0) kedalam pertidaksamaan. Jika benar, maka arsiran harus kearah O(0, 0) karena O(0, 0) adalah salah satu penyelesaian. Jika salah, maka arah arsiran haruslah ke arah sebaliknya karena titik O(0, 0) bukan salah satu penyelesaian. Disamping uji titik, kita bisa menentukan daerah arsiran berdasarkan koefisien dari x atau koefisien dari y. Misalkan pertidaksamaannya adalah $ax + by > c$, maka persamaan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan adalah $ax + by = c$.
$\bullet$ Jika a > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq\ atau\ >$, maka daerah arsirannya adalah sebelah kanan garis dan jika tanda pertidaksamaannya $\leq\ atau\ <$, maka daerah arsirannya adalah sebelah kiri garis. Jika a < 0, berlaku sebaliknya.
$\bullet$ Jika b > 0 dan tanda pertidaksamaannya $\geq\ atau\ >$, maka daerah arsirannya adalah sebelah atas garis, dan jika tanda pertidaksamaannya $\leq\ atau\ <$ daerah arsirannya adalah sebelah bawah garis. Jika b < 0, berlaku sebaliknya.

3. Jika Pertidaksamaan dan persamaan garis tidak diketahui, tetapi titik potong sumbu x dan titik potong sumbu y diketahui, misalkan garis
memotong sumbu y di (0, a) dan sumbu x dititik (b, 0), maka persamaan garisnya adalah $ax + by = ab$.
4. Penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear adalah irisan dari penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan pembentuk sistem pertidaksamaan tersebut.
Contoh Soal 1.
Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $2x + y \leq 4$; $3x + 2y \leq 6$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$. Gambarkan pada sistem koordinat Cartesius.

Pembahasan:

$\bullet$ $2x + y \leq 4$ → persamaan garisnya $2x + y = 4$
Titik potong sumbu x → y = 0,
2x + 0 = 4
2x = 4
x = 2
jadi titik potong sumbu x adalah (2, 0)
Titik potong sumbu y → x = 0,
2.0 + y = 4
0 + y = 4
y = 4
jadi titik potong sumbu y adalah (0, 4). Hubungkan titik (2, 0) dan (0, 4) untuk mendapatkan gambar persamaan garis $2x + y = 4$.
Menentukan arah arsiran:
Cara 1.
a = 2 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arsirannya adalah ke arah sebelah kiri garis.
Cara 2.
b = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah sebelah bawah garis.
Cara 3.
Dengan melakukan uji O(0, 0)
$2.0 + 0 \leq 4$
$0 \leq 4$ → benar, sehingga arsirannya adalah ke arah O(0, 0), karena O(0, 0) adalah salah satu penyelesaiannya. Ketiga cara akan menghasilkan hasil yang sama.
$\bullet$ $3x + 2y \leq 6$ → persamaan garisnya $3x + 2y = 6$
Titik potong sumbu x → y = 0,
3x + 2.0 = 6
3x = 6
x = 2
jadi titik potong sumbu x adalah (2, 0)
Titik potong sumbu y → x = 0,
3.0 + 2y = 6
0 + 2y = 6
2y = 6
y = 3
jadi titik potong sumbu y adalah (0, 3). Hubungkan titik (2, 0) dan (0, 3) untuk mendapatkan gambar persamaan garis $3x + 2y = 6$.
Menentukan arah arsiran:
Cara 1.
a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kiri garis.
Cara 2.
b = 2 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah bawah garis.
Cara 3.
Dengan uji titik O(0, 0)
$3.0 + 2.0 \leq 6$
$0 \leq 6$ → benar, sehingga arsirannya adalah ke arah O(0, 0). Dengan ketiga cara, akan didapatkan hasil yang sama.
$\bullet$ $x \geq 0$ → daerah arsirannya adalah sebelah kanan sumbu y.
$\bullet$ $y \geq 0$ → daerah arsirannya adalah sebelah atas sumbu x.

Contoh Soal 2.
Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $3x + y \geq 6$; $x + 2y \leq 8$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$. Gambarkan pada sistem koordinat Cartesius.

Pembahasan:

$\bullet$ $3x + y \geq 6$ → persamaan garisnya $3x + y = 6$. Titik potong dengan sumbu x dan y dapat ditentukan dengan cara seperti di atas.
Titik potong sumbu x adalah (2, 0)
Titik potong sumbu y adalah (0, 6)
Hubungkan titik (2, 0) dan (0, 6) untuk mendapatkan gambar persamaan garis $3x + y \geq 6$.
Menentukan arah arsiran:
cara 1.
a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\geq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kanan garis.
cara 2.
b = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\geq$, maka arah arsirannya adalah ke arah atas garis.
cara 3.
Uji titik o(0, 0)
$3x + y \geq 6$
$3.0 + 0 \geq 6$
$0 \geq 6$ → salah, arah arsiran bukanlah ke arah O(0, 0), karena titik O(0, 0) bukanlah salah satu penyelesaian.

$\bullet$ $x + 2y \leq 8$ → persamaan garisnya $x + 2y = 8$
Titik potong sumbu x adalah (8, 0)
Titik potong sumbu y adalah (0, 4)
Hubungkan titik (8, 0) dan (0, 4) untuk mendapatkan gambar persamaan garis $x + 2y \leq 8$
Menentukan arah arsiran:
cara 1.
a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan adalah $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arah kiri garis.
cara 2.
b = 2 > 0 dan tanda pertidaksamaan adalah $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arah bawah garis.
cara 3.
Uji titik O(0, 0)
$x + 2y \leq 8$
$0 + 2.0 \leq 8$
$0 \leq 8$ → benar, arah arsiran adalah ke arah O(0, 0), karena O(0, 0) adalah salah satu penyelesaian.
$\bullet$ $x \geq 0$ → daerah arsirannya adalah sebelah kanan sumbu y.
$\bullet$ $y \geq 0$ → daerah arsirannya adalah sebelah atas sumbu x.

Contoh Soal 3.
Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $x + y \leq 5$; $2x + 3y \geq 6$, $x - 3y \leq 0$, dan $3x \geq y$. Gambarkan pada sistem koordinat Cartesius.

Pembahasan:

$\bullet$ $x + y < 5$ → persamaan garisnya $x + y = 5$.
Titik potong sumbu x adalah (5, 0).
Titik potong sumbu y adalah (0, 5).
a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan adalah $&#8804;$, maka arah arsiran adalah ke arah kiri garis.

$\bullet$ $2x + 3y \geq 6$ → persamaan garisnya $2x + 3y = 6$.
Titik potong sumbu x adalah (3, 0).
Titik potong sumbu y adalah (0, 2).
a = 2 > 0 dan tanda pertidaksamaan adalah $\geq$, maka arah arsiran adalah arah ke kanan garis.

$\bullet$ $x - 3y \leq 0$ → persamaan garisnya $x - 3y = 0$.
Garis melalui titik O(0, 0), jika y = 1 maka x = 3. Dengan demikian garis melalui titik (0, 0) dan (3, 1).
menentukan arah arsiran:
cara 1.
$a = 1 > 0$ dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arah kiri garis.
cara 2.
$b = -3 < 0$ dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsiran adalah arah ke atas garis.
cara 3.
Uji titik (1, 0) karena tidak mungkin uji (0, 0).
$x - 3y \leq 0$
$1 - 3.0 \leq 0$
$1 \leq 0$ → salah, arah arsiran bukan ke arah (1, 0), karena titik (1, 0) bukan salah satu penyelesaian.

$\bullet$ $3x \geq y$
$3x - y \geq 0$ → persamaan garisnya $3x - y = 0$
Garis melalui titik O(0, 0), jika x = 1 maka y = 3. Dengan demikian garis melalui titik (0, 0) dan (1, 3).
Menentukan arah arsiran:
cara 1.
a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\geq$, maka arah arsiran adalah ke arah kanan garis.
cara 2.
b = -1 < 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\geq$, maka arah arsiran adalah ke arah bawah garis.
cara 3.
Uji titik (1, 0) karena tidak mungkin uji (0, 0).
$3x - y \geq 0$
$3.1 - 0 \geq 0$
$3 \geq 0$ → benar, arah arsiran adalah ke arah (1, 0), karena (1, 0) adalah salah satu penyelesaian.

Contoh Soal 4.
Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $[x + y][x - y] \leq 0$. Gambarkan pada sistem koordinat Cartesius.

Pembahasan:

$[x + y][x - y] \leq 0$ (negatif) artinya:
A. $(x + y) \leq 0\ (negatif)\ dan\ (x - y) \geq 0\ (positif)$
atau
B. $(x + y) \geq 0\ (positif)\ dan \ (x - y) \leq 0\ (negatif)$

Ingat !!!
$-\ \times\ +\ =\ -$
$+\ \times\ -\ =\ -$

Kita selesaikan satu per satu
A. $(x + y) \leq 0\ dan\ (x - y) \geq 0$
1. $x + y \leq 0$ → persamaan garisnya $x + y = 0$
Garis melalui titik O(0, 0) dan jika x = 1 maka y = -1. Dengan demikian garis melalui titik (0, 0) dan (1, -1).
Menentukan arah arsiran:
a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kiri garis.
2. $x - y \geq 0$ → persamaan garisnya $x - y = 0$
Garis melalui O(0, 0) dan jika x = 1 maka y = 1. Dengan demikian garis melalui titik O(0, 0) dan (1, 1).
Menentukan arah arsiran:
a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kanan garis. Himpunan penyelesaian adalah $1 &#8745; 2$

B. $(x + y) \geq 0\ dan \ (x - y) \leq 0$
1. $x + y \geq 0$ → persamaan garisnya $x + y = 0$
Garis melalui titik O(0, 0) dan jika x = 1 maka y = -1. Dengan demikian garis melalui titik (0, 0) dan (1, -1).
Menentukan arah arsiran:
a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kanan garis.
2. $x - y \leq 0$ → persamaan garisnya $x - y = 0$
Garis melalui O(0, 0) dan jika x = 1 maka y = 1. Dengan demikian garis melalui titik O(0, 0) dan (1, 1).
Menentukan arah arsiran:
a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kiri garis. Himpunan penyelesaian dari B adalah $1 &#8745; 2$

Himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari himpunan penyelesaian A dan himpunan penyelesaian B.

Contoh Soal 5.
Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $[x - 3y + 6][3x + y-12] \geq 0$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$. Gambarkan pada sistem koordinat Cartesius.

Pembahasan:

$[x - 3y + 6][3x + y - 12] \geq 0$ (positif) artinya:
A. $x - 3y + 6 \geq 0\ (+)\ dan\ 3x + y - 12 \geq 0\ (+)$
atau
B. $x - 3y + 6 \leq 0\ (-)\ dan\ 3x + y-12 \leq 0\ (-)$

Ingat!!!
$+\ \times\ +\ =\ +$
$-\ \times\ -\ =\ -$

Kita selesaikan satu per satu
A. $x - 3y + 6 \geq 0\ dan\ 3x + y - 12 \geq 0$
1. $x - 3y + 6 \geq 0$ → persamaan garisnya $x - 3y + 6 = 0$
Titik potong sumbu x = (-6, 0).
Titik potong sumbu y = (0, 2).
Menentukan arah arsiran:
a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq$, maka arah arsiran adalah ke arah kanan garis.
2. $3x + y - 12 \geq 0$ → persamaan garis $3x + y - 12 = 0$
Titik potong sumbu x = (4, 0).
Titik potong sumbu y = (0, 12)
Menentukan arah arsiran:
a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq$, maka arah arsiran adalah ke arak kanan garis. Himpunan penyelesaian dari A adalah $1 &#8745; 2$.

B. $x - 3y + 6 \leq 0\ dan\ 3x + y-12 \leq 0$
1. $x - 3y + 6 \leq 0$ → persamaan garis $x - 3y + 6 = 0$
Titik potong sumbu x = (-6, 0).
Titik potong sumbu y = (0, 2).
Menentukan arah arsiran:
a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arah kiri garis.
2. $3x + y - 12 \leq 0$ → persamaan garis $3x + y - 12 = 0$
Titik potong sumbu x = (4, 0).
Titik potong sumbu y = (0, 12)
Menentukan arah arsiran:
a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arak kiri garis. Himpunan penyelesaian dari B adalah $1 &#8745; 2$

Himpunan penyelesaian adalah himpunan penyelesaian A gabung himpunan penyelesaian B iris $x \geq 0$ iris $y \geq 0$

Contoh Soal 6.
Tentukanlah sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk daerah yang diarsir pada gambar di bawah.

Perhatikan bahwa ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir.
1. Sumbu y atau x = 0. Karena yang diarsir adalah sebelah kanan dari sumbu y, maka pertidaksamaannya adalah $x \geq 0$.
2. Sumbu x atau y = 0. Karena yang diarsir adalah sebelah atas dari sumbu x, maka pertidaksamaannya adalah $y \geq 0$
3. Garis melalui titik (0, 3) dan (5, 0). Persamaan garis yang melalui $(0, a)$ dan $(b, 0)$ adalah: $ax + by = ab$. Dengan demikian persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (5, 0) adalah $3x + 5y = 15$
Menentukan tanda pertidaksamaan:
cara 1.
a = 3 > 0 dan arsiran di sebelah kiri garis, maka tanda pertidaksamaan adalah $\leq$.
cara 2.
b = 5 > 0 dan arsiran di bawah garis, maka tanda pertidaksamaan adalah $\leq$.
cara 3.
Uji titik O(0, 0)
$3.0 + 5.0 \leq 15$
Berarti pertidaksamaannya adalah $3x + 5y \leq 15$
4. Garis melalui titik (0, 8) dan (4, 0). Persamaan garisnya adalah $8x + 4y = 32$, disederhanakan menjadi $2x + y = 8$ → (semua dibagi 4).
Menentukan tanda pertidaksamaan:
cara 1.
a = 2 > 0 dan arsiran di sebelah kiri garis, maka tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$. Silahkan adik-adik coba cara 2 dan 3. Berarti pertidaksamaannya adalah $2x + y \leq 8$. Dengan demikian sistem pertidaksamaannya adalah:
$3x + 5y \leq 15$, $2x + y \leq 8$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$.

Contoh Soal 7.
Tentukanlah sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk daerah yang diarsir pada gambar di bawah.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir.
1. Garis yang tegak lurus sumbu $x$ dan melelui titik $(a, 0)$ persamaan garisnya adalah $x = a$. Dengan demikian, garis yang tegak lurus sumbu x dan melalui titik $(1, 0)$ persamaannya adalah $x = 1$. Karena arsiran berada di sebalah kanan garis, maka pertidaksamaannya adalah $x \geq 1$.
2. Persamaan garis yang tegak lurus sumbu x dan melalui titik (5, 0) adalah $x = 5$. Karena arsiran berada di sebelah kiri garis, maka pertidaksamaannya adalah $x \leq 5$.
3. Persamaan garis yang tegak lurus sumbu y dan melalui titik (0, b) adalah $y = b$. Dengan demikian persamaan garis yang tegak lurus sumbu y dan melalui titik (0, 1) adalah $y = 1$. Karena arsiran berada di atas garis, maka pertidaksamaannya adalah $y \geq 1$.
4. Persamaan garis yang melalui titik (0, 6) dan (8, 0) adalah $6x + 8y = 48$, disederhanakan menjadi $3x + 4y = 24$.
Cara menentukan pertidaksamaan:
cara 1.
a = 3 > 0 dan arsiran berada di sebelah kiri garis, maka bentuk pertidaksamaannya adalah $\leq$. Berarti pertidaksamaannya adalah $3x + 4y \leq 24$. Silahkan adik-adik coba sendiri cara 2 dan 3. Dengan demikian sistem petidaksamaannya adalah:
$x \geq 1$, $x \leq 5$, $3x + 4y \leq 24$, dan $y \geq 1$.

Contoh soal 8.
Tentukanlah sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk daerah yang diarsir pada gambar di bawah.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa ada 2 daerah arsiran, yaitu arsiran bawah dan arsiran atas.
$\bullet$ Arsiran bawah dibatasi oleh 3 garis, yaitu sumbu x atau garis y = 0, garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 6), dan garis yang melalui titik (6, 0) dan (0, 3).
$\bullet$ Arsiran atas dibatasi oleh 3 garis, yaitu sumbu y atau garis x = 0, garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 6), dan garis yang melalui titik (6, 0) dan (0, 3).

Arsiran bawah:
1. Karena arsiran di atas garis $y = 0$, maka pertidaksamaannya adalah $y \geq 0$.
2. Persamaan garis yang melalui titik $(2, 0)\ dan\ (0, 6)$ adalah $6x + 2y = 12$ disederhanakan menjadi $3x + y = 6$. a = 3 > 0 dan yang diarsir adalah sebelah kanan garis, maka pertidaksamaannya adalah $3x + y \geq 6$ atau $3x + y - 6 \geq 0$.
3. Persamaan garis yang melalui titik $(6, 0)\ dan\ (0, 3)$ adalah $3x + 6y = 18$ disederhanakan menjadi $x + 2y = 6$. a = 1 > 0 dan yang diarsir adalah sebelah kiri garis, maka pertidaksamaannya adalah $x + 2y \leq 6$ atau $x + 2y - 6 \leq 0$. Karena $3x + y - 6 \geq 0$ (positif) dan $x + 2y - 6 \leq 0$ (negatif), maka: $(3x + y - 6)(x + 2y - 6) \leq 0$ (negatif).

Arsiran Atas:
1. Karena arsiran disebelah kanan garis $x = 0$, maka pertidaksamaannya adalah adalah $x \geq 0$.
2. Karena arsiran berada di sebelah kiri garis $3x + y = 6$, maka pertidaksamaannya adalah $3x + y \leq 6$ atau $3x + y - 6 \leq 0$.
3. Karena arsiran berada di sebelah kanan garis $x + 2y = 6$, maka pertidaksamaannya adalah $x + 2y \geq 6$ atau $x + 2y - 6 \geq 0$. Karena $3x + y - 6 \leq 0$ (negatif) dan $x + 2y - 6 \geq 0$ (positif), maka: $(3x + y - 6)(x + 2y - 6) \leq 0$ (negatif).
Dengan demikian sistem pertidaksamaannya adalah:
$(3x + y - 6)(x + 2y - 6) \leq 0$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$.

Ingat-ingat!!!!
$(+)\ \times\ (-)\ =\ (-)$
$\leq atau <$ → artinya adalah negatif.
$\geq atau >$ → artinya adalah positif.

Demikianlah cara untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) sistem pertidaksamaan linear dua variabel, semoga bermanfaat.

Terima kasih telah membaca artikel ini & dipublikasikan oleh Caraku